代数的基礎：直線とアフィン集合
多次元の最適化の地形を探索するには、2点 $x_1$ と $x_2$ の間をどう移動するかを定義する必要があります。数学的な直線とは、次の条件を満たすすべての点 $y$ の集合です：
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
同様に、$x_2$ を出発点として、方向 $(x_1 - x_2)$ を $\theta$ 倍して進むと考えることもできます：$y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$。$\theta$ がすべての実数 $\mathbb{R}$ を取るとき、 アフィン集合という集合が生成されます。覚えておくべき重要な性質は： 任意の直線はアフィン集合です。原点を通る場合、それは部分空間となり、したがって凸錐でもあります。
線分は $0 \le \theta \le 1$ という制限のもとで定義されるものです。無限直線とは異なり、線分は 凸ですが、アフィンではありません （一点に縮退する場合を除く）。これは2つの端点間のすべての「重み付き平均」や混合物を表します。
半直線とは、$v \neq 0$ のもとで $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$ という形を持つもので、これも 凸ですが、アフィンではありませんです。半直線は最適化理論における錐の基盤となる構成要素です。
凸性の判定基準
集合 $C$ を 凸 任意の2点を結ぶ線分が集合内に完全に含まれる場合に定義します。この単純な要件——『橋』の包含——こそが、最適化問題が解けるか否かを決定します。
例：ポートフォリオ最適化
金融の文脈では、$x_1$ が100％株式のポートフォリオを、$x_2$ が100％債券のポートフォリオを表すと仮定します。線分はすべての可能な重み付き混合を表します。たとえば、60％／40％の分割は $\theta = 0.6$ で生じます。許容可能なポートフォリオの集合が凸である場合、2つの有効なポートフォリオの任意の混合は必ず有効になります——これはリスク評価を極めて簡略化する性質です。